在考研数学中，不等式证明题是考察考生逻辑思维和数学分析能力的重要题型。以下是一例不等式证明题的解题思路：
题目：证明对于所有正实数 \(x\) 和 \(y\)，不等式 \(\frac{x^2}{x+y} + \frac{y^2}{x+y} \geq \frac{(x+y)^2}{2(x+y)}\) 成立。
解题步骤：
1. 不等式变形：首先将不等式两边通分，得到 \(\frac{x^2 + y^2}{x+y} \geq \frac{(x+y)^2}{2(x+y)}\)。
2. 化简：将不等式两边同时乘以 \(2(x+y)\)，得到 \(2(x^2 + y^2) \geq (x+y)^2\)。
3. 展开：将右边的平方展开，得到 \(2x^2 + 2y^2 \geq x^2 + 2xy + y^2\)。
4. 整理：将同类项整理，得到 \(x^2 + y^2 \geq 2xy\)。
5. 应用均值不等式：根据均值不等式 \(a^2 + b^2 \geq 2ab\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 为任意实数，可知 \(x^2 + y^2 \geq 2xy\) 成立。
6. 结论：因此，原不等式成立。
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