在考研数学中，常见的基本不等式主要包括以下几个：
1. 算术平均数-几何平均数不等式：对于任意的正数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，有
\[
\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n}
\]
等号成立当且仅当 \(a_1 = a_2 = \ldots = a_n\)。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意的实数序列 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \ldots, y_n\)，有
\[
(x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \ldots + y_n^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_ny_n)^2
\]
等号成立当且仅当 \(\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \ldots = \frac{x_n}{y_n}\)。
3. 均值不等式：对于任意的正数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，有
\[
\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}
\]
等号成立当且仅当 \(a_1 = a_2 = \ldots = a_n\)。
4. 拉格朗日中值定理：如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，那么存在至少一个 \(c \in (a, b)\)，使得
\[
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
\]
5. 积分中值定理：如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，那么存在至少一个 \(c \in (a, b)\)，使得
\[
\int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b - a)
\]
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