在考研数学中，常用不等式证明是考查逻辑思维和推理能力的重要环节。以下是一些常用不等式的证明方法及示例：
1. 算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：
证明：设\(a_1, a_2, ..., a_n\)是\(n\)个非负实数，则有
\[
\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}
\]
当且仅当\(a_1 = a_2 = ... = a_n\)时等号成立。
2. 柯西-施瓦茨不等式：
证明：设\(a_1, a_2, ..., a_n\)和\(b_1, b_2, ..., b_n\)是两组实数，则有
\[
(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2
\]
当且仅当\(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = ... = \frac{a_n}{b_n}\)时等号成立。
3. 柯西不等式在概率论中的应用：
证明：设\(X_1, X_2, ..., X_n\)是相互独立的随机变量，\(E(X_i) = \mu_i\)，\(D(X_i) = \sigma_i^2\)，则有
\[
E[(X_1 - \mu_1)^2 + (X_2 - \mu_2)^2 + ... + (X_n - \mu_n)^2] \geq \sum_{i=1}^n \sigma_i^2
\]
当且仅当\(X_1, X_2, ..., X_n\)相互独立且同分布时等号成立。
4. 拉格朗日中值定理的应用：
证明：设\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上连续，在开区间\((a, b)\)内可导，则有
\[
f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)
\]
其中\(\xi\)是\(a\)和\(b\)之间的某个数。
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