在考研数学中，积分不等式是一个常考且较为复杂的题型。以下是一道典型的积分不等式真题：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，其中$x \in [0, 1]$，求证：$\int_0^1 f(x) \, dx \geq \frac{1}{3}$。
解答过程：
首先，我们需要求出$f(x)$在区间$[0, 1]$上的最小值。对$f(x)$求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，令$f'(x) = 0$，解得$x = \frac{1}{3}$。由于$f''(x) = 6x - 6$，当$x = \frac{1}{3}$时，$f''(x) < 0$，因此$x = \frac{1}{3}$是$f(x)$的极大值点，也是最大值点。
接下来，我们计算$f(x)$在$x = \frac{1}{3}$时的值，即$f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{2}{3} = \frac{19}{27}$。
由于$f(x)$在区间$[0, 1]$上单调递增，因此$f(x)$在$x = 0$和$x = 1$时的值分别为$f(0) = 0$和$f(1) = 0$。所以，$f(x)$在区间$[0, 1]$上的最小值为0。
根据积分的性质，我们有$\int_0^1 f(x) \, dx \geq \int_0^1 0 \, dx = 0$。因此，$\int_0^1 f(x) \, dx \geq \frac{1}{3}$。
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