考研数学中涉及的基本不等式主要包括以下几种：
1. 算术平均数与几何平均数不等式：对于任意非负实数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，有
\[ \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n} \]
等号成立当且仅当 \(a_1 = a_2 = \ldots = a_n\)。
2. 平方和不等式：对于任意实数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，有
\[ (a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2) \geq \frac{(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2}{n} \]
等号成立当且仅当 \(a_1 = a_2 = \ldots = a_n\)。
3. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：对于任意实数序列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 和 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\)，有
\[ (a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n)^2 \]
等号成立当且仅当存在常数 \(k\)，使得 \(a_i = kb_i\) 对所有 \(i\) 成立。
4. 切比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）：对于任意实数序列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 和其均值 \(\bar{a}\)，有
\[ P(|a_i - \bar{a}| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]
其中，\(\sigma\) 是序列的标准差。
5. 马尔可夫不等式（Markov's Inequality）：对于任意非负实数序列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 和任意正数 \(p\)，有
\[ P(a_i \geq p) \leq \frac{E(a_i)}{p} \]
其中，\(E(a_i)\) 是序列 \(a_i\) 的期望值。
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