在考研数学第四章中，以下是一些核心公式和定理：
1. 二项式定理：\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
2. 多项式展开：\[ (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k \]
3. 拉格朗日中值定理：若函数\( f(x) \)在闭区间\[ [a, b] \]上连续，在开区间\( (a, b) \)内可导，则存在\( \xi \in (a, b) \)，使得\[ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
4. 罗尔定理：若函数\( f(x) \)在闭区间\[ [a, b] \]上连续，在开区间\( (a, b) \)内可导，且\( f(a) = f(b) \)，则存在\( \xi \in (a, b) \)，使得\[ f'(\xi) = 0 \]
5. 泰勒公式：若函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)的邻域内具有\( n+1 \)阶导数，则\[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x) \]
6. 洛必达法则：若函数\( f(x) \)和\( g(x) \)在点\( x_0 \)的邻域内可导，且\( g'(x) \neq 0 \)，且\( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \)为“\( 0/0 \)”或“\( \infty/\infty \)”型未定式，则\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]
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