在04年考研数学中，第三题是一道关于多元函数微分学的经典题目。题目通常涉及求解多元函数在某点的偏导数或全微分，以及分析函数在该点的极值问题。具体题目内容如下：
已知函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + 4x - 8y + 12 \)，求该函数在点 \( (2, 2) \) 处的偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)，并判断该点是否为极值点。
解答过程如下：
1. 计算偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)：
\[ f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 - 2xy + 4x - 8y + 12) = 2x - 2y + 4 \]
\[ f_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2 - 2xy + 4x - 8y + 12) = 2y - 2x - 8 \]
2. 将点 \( (2, 2) \) 代入偏导数中，得到：
\[ f_x(2, 2) = 2 \times 2 - 2 \times 2 + 4 = 4 \]
\[ f_y(2, 2) = 2 \times 2 - 2 \times 2 - 8 = -8 \]
3. 判断该点是否为极值点：
\[ f_{xx} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} f_x = 2 \]
\[ f_{yy} = \frac{\partial^2}{\partial y^2} f_y = 2 \]
\[ f_{xy} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f_x = -2 \]
计算二阶导数判别式 \( D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 \)：
\[ D = 2 \times 2 - (-2)^2 = 0 \]
由于 \( D = 0 \)，无法直接判断该点是否为极值点。需要进一步分析。
4. 分析 \( f_x \) 和 \( f_y \) 的符号：
\[ f_x = 2x - 2y + 4 \]
\[ f_y = 2y - 2x - 8 \]
在点 \( (2, 2) \) 处，\( f_x \) 和 \( f_y \) 均为正，说明函数在该点附近是增加的。因此，点 \( (2, 2) \) 不是极值点。
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