在考研强化数学的征途上，以下是一道典型的例题解析：
例题：已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$，求$f(x)$在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。
解题步骤：
1. 求导数：首先对$f(x)$求一阶导数，得$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$。
2. 找临界点：令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$和$x = 3$。由于$x = 3$不在区间$[1,3]$内，故只考虑$x = 1$。
3. 检查区间端点：计算$f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 = 4$和$f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 = 0$。
4. 比较值：比较$f(1)$和$f(3)$，发现$f(1) = 4$为最大值，$f(3) = 0$为最小值。
结论：函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$在区间$[1,3]$上的最大值为4，最小值为0。
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