在高等数学考研中，不等式证明是一个重要的考点。以下是一个原创的不等式证明示例：
题目：证明对于任意正实数 \(x\)，有不等式 \(\frac{1}{x} + x \geq 2\) 成立。
证明：
首先，定义函数 \(f(x) = \frac{1}{x} + x\)，其中 \(x > 0\)。
接下来，计算 \(f(x)\) 的导数：
\[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} + 1 \]
令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x = 1\)。
现在，分析 \(f'(x)\) 的符号：
- 当 \(0 < x < 1\) 时，\(f'(x) < 0\)，函数 \(f(x)\) 在区间 \((0, 1)\) 上单调递减。
- 当 \(x > 1\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数 \(f(x)\) 在区间 \((1, +\infty)\) 上单调递增。
因此，\(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处取得最小值。
计算 \(f(1)\)：
\[ f(1) = \frac{1}{1} + 1 = 2 \]
由于 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处取得最小值，并且 \(f(x)\) 在 \(x > 0\) 的范围内始终大于或等于 2，所以对于任意正实数 \(x\)，不等式 \(\frac{1}{x} + x \geq 2\) 成立。
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