考研数学二不等式证明的关键在于深入理解不等式的性质以及恰当运用各种证明方法。以下是一个典型的考研数学二不等式证明题目的解答过程：
题目：证明对于任意正数\(x\)和\(y\)，不等式\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\)成立。
解答过程：
1. 观察不等式结构：首先观察不等式两边，左边是两个分数之和，右边是常数2。
2. 运用均值不等式：由于\(\frac{x}{y}\)和\(\frac{y}{x}\)都是正数，可以运用算术平均数和几何平均数的不等式（AM-GM不等式）进行证明。
3. 应用AM-GM不等式：
\[
\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} \geq \sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}}
\]
简化得到：
\[
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2
\]
4. 得出结论：因此，不等式\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\)成立。
通过以上步骤，我们完成了这个不等式证明的解答。
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